最近暇な時間を数オリ埋めに充てることでツイ廃を脱却しようとしています。今度OMCも出てみようかな......
問題
JMO公式ページを参照のこと。
解答
角度を追いかけると，△ADEはAD=AEの二等辺三角形であることがわかる。また，ABFとEXFが相似で XE:AB=XF:5 , DXFとACFが相似で3:AC=XF:6 がわかる。 これを組むと XE=18AB/5AC となるので，ABとACの比がわかればよい。
ここで，方べきの定理よりBF×EF=AF×XF, DF×CF=AF×XF がいえるので，DF:EF=5:6 となる。BD=5xとおけば，CE=6xとなる。△ABDと△CAEの相似より，AD=AE=sqrt(30)xとなる。
△ABDと△CAEに余弦定理を用いて，AB²とAC²を計算すると，AB²:AC²=5:6であるので， AB:AC=sqrt(5):sqrt(6) である。
ゆえに，求める答えは 3sqrt(30)/5 となる。
教訓
長さを求める道具として余弦定理を意識する，初等幾何だけで解ききれるとは限らない
考察中はcosの値を出したが比を取れる形だったので結局不要だった
感想
余弦定理のところでヒントをもらった 60分くらいで結構いいところまで詰められたと思う 8にしては簡単枠寄り? (この回ボーダー6だからこれも取っておくと安心そう)
